Teorem 1 Hver Cauchy-sekvens av reelle tall konvergerer til en grense.
Hvordan finner du grensen for en Cauchy-sekvens?
Bevis: Grensen for en Cauchy-sekvens an=limn→∞an.
Konvergerer hver Cauchy-sekvens?
Hver ekte Cauchy-sekvens er konvergent. Teorem.
Har alle konvergerende sekvenser en grense?
Derfor for alle konvergerende sekvenser er grensen unik. Notasjon Anta at {an}n∈N er konvergent. Så ved setning 3.1 er grensen unik, så vi kan skrive den som l, si.
Kan en sekvens konvergere til to forskjellige grenser?
det betyr at L1 − L2=0 ⇒ L1=L2, og dermed sekvensen kan ikke ha to forskjellige grenser. For denne ϵ, siden an konvergerer til L1, har vi at det eksisterer en indeks N1 slik at |an −L1| N1. Samtidig konvergerer an til L2, og så er det en indeks N2 slik at |an −L2| N2.
