Hvis A er en m × n matrise, så har ATA og AAT de samme egenverdiene som ikke er null … Derfor er Ax en egenvektor av AAT som tilsvarer egenverdien λ. Et analogt argument kan brukes for å vise at hver egenverdi av AAT som ikke er null er en egenverdi av ATA, og dermed fullføre beviset.
Er egenverdiene til AAT og ATA de samme?
Matrisene AAT og ATA har de samme egenverdier som ikke er null. Avsnitt 6.5 viste at egenvektorene til disse symmetriske matrisene er ortogonale.
Er ATA det samme som AAT?
Siden AAT og ATA er ekte symmetriske, kan de diagonaliseres med ortogonale matriser. Det følger av forrige utsagn (siden de geometriske og algebraiske multiplisitetene faller sammen) at AAT og ATA har samme egenverdier.
Har ATA distinkte egenverdier?
Sant. For eksempel, hvis A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , så har den karakteristiske ligningen det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 ingen gjentatt rot. Derfor er alle egenverdier til A distinkte og A er diagonaliserbare. 3.35 For enhver reell matrise A er AtA alltid diagonaliserbar.
Kan forskjellige egenvektorer ha samme egenverdi?
To distinkte egenvektorer som tilsvarer den samme Eigenverdien er alltid lineært avhengige. To distinkte egenvektorer som tilsvarer samme egenverdi er alltid lineært avhengige.
